Question

求過點(diǎn)（0，1）的直線，使它與拋物線y²=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)．滿足條件的直線為：

x=0，或 y=1，或 y=

1

2

x+1

．

Answer 1

分析：當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，求得直線的方程；當(dāng)所求的直線平行于x軸時(shí)，求得直線方程為，當(dāng)所求直線的斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)出直線的方程為 y=kx+1，代入拋物線y²=2x可得 k²•x²+（2k-2）x+1=0，再由判別式△=0，求得k的值，可得此時(shí)的直線方程．綜合可得結(jié)論．

解答：解：當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為 x=0．
當(dāng)所求的直線平行于x軸時(shí)，方程為 y=1．
當(dāng)所求直線的斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)為k，則直線的方程為 y=kx+1，代入拋物線y²=2x可得 k²•x²+（2k-2）x+1=0．
由判別式△=（2k-2）²-4k²=0，k=

1

2

，故此時(shí)所求直線的方程為 y=

1

2

x+1．
故答案為 x=0，或 y=1，或 y=

1

2

x+1．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．