Question

已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為實數．
（1）當a=-1時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區間（0，e]上是增函數，求a的取值范圍（e為自然對數的底數）．
（3）當a=-1時，試推斷方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實數解．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入已知，由極值的定義易得答案；
（2）f（x）在區間（0，e]上是增函數轉化為其導數f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，只需分離a，化為函數的最值即可；
（3）由（1）知|f（x）|≥1，令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，可求得其最大值，檢驗是否適合|f（x）|≥1，可得結論．

解答：解：（1）當a=-1時，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+

1

x

，
令f′（x）=-1+

1

x

=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
故f（x）有極大值f（1）=-1
（2）求導可得f′（x）=a+

1

x

，由x∈（0，e]，得

1

x

∈[

1

e

，+∞)，
由于f（x）在區間（0，e]上是增函數，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+

1

x

≥0在（0，e]上恒成立，所以a≥-

1

x

在（0，e]上恒成立，
由

1

x

∈[

1

e

，+∞)，知-

1

x

∈(-∞，-

1

e

]，即-

1

x

≤-

1

e

所以當a≥-

1

e

時，a≥-

1

x

恒成立，
故所求a的取值范圍為：a≥-

1

e

（3）由（1）中的結論f（x）由唯一極值-1知，函數f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，則g′（x）=

1-lnx

x2

當0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；當x＞e時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值為g（e）=

1

e

+

1

2

，
從而g（x）≤

1

e

+

1

2

，又

1

e

+

1

2

＜1，所以方程|f（x）|=

1nx

x

+

1

2

無實數解．

點評：本題為導數的綜合應用，涉及極值最值以及恒成立問題，屬中檔題．