Question

已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程．

（2）若過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，且求證：為定值

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；

根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求橢圓方程．

（2）由題意：直線的斜率存在，所以設(shè)直線方程為,將直線方程代入橢圓方程得：,

設(shè)，

應(yīng)用韋達(dá)定理，

由得到

即，，得到．

試題解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的方程為,

∴圓心到直線的距離 *

∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形， b=c,代入*式得b=1

∴ 故所求橢圓方程為 4分

（2）由題意：直線的斜率存在，所以設(shè)直線方程為,則

將直線方程代入橢圓方程得： 6分

設(shè)，

則 ① 8分

由∴

即：， 10分

==-4

∴ 12分

考點(diǎn)：1．橢圓的方程及其幾何性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關(guān)系；3．直線與圓的位置關(guān)系．