Question

已知函數f(x)=log

1

2

|x|

x2

．
（1）請寫出（不必證明）函數f（x）的定義域，奇偶性，單調性，值域，并畫出圖象；
（2）設任意的x₁＞0，x₂＞0，試猜測

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先作出函數圖象，由函數解析式結合函數圖象給出函數f（x）的定義域，奇偶性，單調性，值域；
（2）由題意可猜測

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)，將此兩代數式依據對數的運算性質化簡，得到

1

2

[f(x1)+f(x2)]=log2

x1x2

，f(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

觀察兩式發現可用基本不等式比較兩個真數的大小，從而證明出猜測的結論．

解答：解：（1）f(x)=log

1

2

|x|

x2

=

log2x，  (x＞0) log2(-x)，(x＜0)

定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
奇偶性：偶函數；
單調性：函數f(x)=log

1

2

|x|

x2

在區間（-∞，0）上為減函數；
在區間（0，+∞）上為增函數；
值域：（-∞，+∞）；
圖象如右：-------------（6分）
（2）對任意的x₁＞0，x₂＞0，

1

2

[f(x1)+f(x2)]=log2

x1x2

，----------------（1分）
f(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

．-------------------------（1分）
因為

x1+x2

2

≥

x1x2

，當且僅當x₁=x₂時，等號成立，--------------------（2分）
由函數f（x）=log₂x是單調遞增函數，有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)．
當且僅當x₁=x₂時，等號成立．（此結論猜出得2分）------------------------（2分）

點評：本題考查對數函數的圖象與性質的綜合應用，對數的運算性質，基本不等式比較大小，解題的關鍵是熟練掌握對數的性質及理解基本不等式，綜合運用這些知識對猜測的結論進行證明