Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若曲線和曲線有三個公共點，求以這三個點為頂點的三角形的面積.

Answer 1

【答案】（1）,（2）16

【解析】分析: （Ⅰ）利用參數方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程互化的方法，可得曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）曲線和曲線都是關于軸對稱的圖形，它們有三個公共點，所以原點的它們其中的一個公共點，從而可確定，進而得到三角形的面積.

詳解: （Ⅰ）曲線 （為參數），消去參數，得曲線的普通方程為：，

曲線 ，即，化為直角坐標方程為．

（Ⅱ）因為曲線和曲線都是關于軸對稱的圖形，它們有三個公共點，所以原點的它們其中的一個公共點，將原點代入中得：（舍去），此時，曲線方程為，曲線和曲線的三個交點坐標為，易得這三個點為頂點的三角形的面積為．

點睛: 參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程，通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程，利用關系式， 等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，本題這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題．