Question

【題目】對(duì)任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是（ ）
A.
B.
C.e
D.2e

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6， 不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．
即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取等號(hào)），
由題意可得4xlna≤6+2ex﹣4 ，
即有2lna≤ 在x＞0時(shí)恒成立，
令g（x）= ，g′（x）= ，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，
令h（x）=（x﹣1）ex﹣4 ， （x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，
∵x＞0，ex﹣4＞0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵h(yuǎn)（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根為4，
∴當(dāng)x＞4時(shí)g（x）遞增，當(dāng)0＜x＜4時(shí)g（x）遞減，
∴當(dāng)x=4時(shí)，g（x）取得最小值g（4）=1，
∴2lna1，lna ，
∴0＜a ，（當(dāng)x=2，y=0時(shí)，a取得最大值 ），
故選A．