Question

已知函數f（x）=sin2（

π

4

+x）-

3

2

cos2x
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）函數f（x）的圖象經過怎樣的變換可以得到y=sin2x的圖象？

Answer 1

分析：（1）函數解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出函數的最小正周期；由正弦函數的單調遞增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到函數的遞增區間；
（2）利用平移規律，得到函數f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，向下平移

1

2

個單位得到y=sin2x的圖象．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

2

cos2x=

1

2

+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=

1

2

+sin（2x-

π

3

），
∵ω=2，∴T=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
則函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）函數f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，向下平移

1

2

個單位得到y=sin2x的圖象．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，以及三角函數的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關鍵．