Question

設函數f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²；
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y+3=0距離的最小值；
（2）是否存在正實數a，使得不等式f（x）≤g（x）對一切正實數x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）平移直線x-y+3=0當它與函數y=f（x）圖象相切時，切點即為函數y=f（x）圖象上到直線x-y+3=0距離最小的點，此時切線的斜率等于函數y=f（x）在切點處的導數，故求切點坐標可以根據導函數值等于1入手．
（2）若不等式f（x）≤g（x）對一切正實數x都成立，我們可以構造函數F（x）=f（x）-g（x）將其轉化為函數恒成立問題，然后根據導函數求出F（x）的最大值，根據F（x）≤0恒成立?F（x）的最大值≤0進行求解．

解答：解：（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)=-1+

1

x

，令f'（x）=1，得x=

1

2

∴所求距離的最小值即為P(

1

2

，f(

1

2

))到直線x-y+3=0的距離
d=

| 1 2 -(- 1 2 -ln2)+3|

2

=

1

2

(4+ln2)

2

（2）假設存在正數a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），則F（x）_max≤0
由F′(x)=a+

1

x

-2a2x=0得x=

1

a

∵x＞

1

a

時，F′（x）＜0，
∴F（x）為減函數；
當0＜x＜

1

a

時，F′（x）＞0，
∴F（x）為增函數
∴F(x)max=F(

1

a

)
∴ln

1

a

≤0即a≥1
所以a的取值范圍是[1，+∞）

點評：（1）用導數解應用題求最值的一般方法是：求導，令導數等于零；求y′=0的根，求出極值點；最后寫出解答．（2）在有關極值應用的問題中，絕大多數在所討論的區間上函數只有一點使得f′（x）=0，且在兩側f′（x）的符號各異，一般稱為單峰問題，此時該點就是極值點，也是最值點．