Question

【題目】如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC．O為AB的中點，OF⊥EC．

（1）求證：OE⊥FC：
（2）若 時，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，∵AC=BC，O是AB的中點，

故OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABEF，

故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．

又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，

∴OF⊥OE，

又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，

∴OE⊥FC；

（2）解：由（1）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2，

∵ ，∴AC= ，則OC=

建立以O為坐標原點，OC，OB，OD分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：

則F（0，﹣1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（ ，0，0），則

=（﹣ ，1，1）， =（0，﹣2，0），

設平面FCE的法向量為 =（x，y，z），

則 ．

∴ =（1，0， ），

∵ =（0，0，1）， =（ ，﹣1，0），

∴同理可得平面CEB的法向量為 =（1， ，0），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∵二面角F﹣CE﹣B是鈍二面角，

∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）連結OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OF，進而得到OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC．（2）由（1）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．