Question

某家具廠生產一種兒童用組合床柜的固定成本為20000元，每生產一組該組合床柜需要增加投入100元，已知總收益滿足函數：R(x)=

- 1 2 x2+400x(0≤x≤400) 80000(x＞400)

，其中x是組合床柜的月產量．
（1）將利潤y元表示為月產量x組的函數；
（2）當月產量為何值時，該廠所獲得利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

Answer 1

分析：（1）求出月產量x組的成本，由利潤等于收益減去成本分段求出月產量x組的利潤；
（2）當0≤x≤400時，利用配方法求最大值，當x＞400時，由一次函數的單調性求最值，兩段最大值中的最大者為所求．

解答：解：（1）由題設，總成本為20000+100x，
由利潤等于總收益-成本得：
y=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，              x＞400

；
（2）當0≤x≤400時，y=-

1

2

(x-300)2+25000，
當x=300時，y_max=25000；
當x＞400時，y=60000-100x是減函數，
則y＜60000-100×400=20000＜25000．
∴當x=300時，有最大利潤25000元．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查了利用配方法和函數的單調性求函數的最值，是中檔題．