Question

已知函數f（x）=ax²-2x+1
（1）試討論函數f（x）的單調性；
（2）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），求M（a）的表達式；
（3）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）對參數a進行討論，分一次函數、二次函數，確定函數的單調性；
（2）配方，確定函數對稱軸與區間的關系，即可得到M（a）的表達式；
（3）先確定N(a)=f(

1

a

)=1-

1

a

，再利用（2）的結論，即可求得g（a）的表達式．

解答：解：（1）當a=0時，函數f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上為減函數…（2分）
當a＞0時，拋物線f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸為x=

1

a

∴函數f（x）在(-∞，

1

a

)上為減函數，在(

1

a

，+∞)上為增函數…（4分）
當a＜0時，拋物線f（x）=ax²-2x+1開口向下，對稱軸為x=

1

a

∴函數f（x）在(-∞，

1

a

)上為增函數，在(

1

a

，+∞)上為減函數…（6分）
（2）∵f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3
當1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1時，M（a）=f（3）=9a-5，當2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

時，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）=

a-1， 1 3 ≤a≤ 1 2 9a-5， 1 2 ＜a≤1

…（8分）
（3）∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3
∴N(a)=f(

1

a

)=1-

1

a

當

1

2

＜a≤1時，M（a）=f（3）=9a-5，∴g(a)=9a+

1

a

-6
當

1

3

≤a≤

1

2

時，M（a）=f（1）=a-1，∴g(a)=a+

1

a

-2…（12分）
∴g(a)=

a+ 1 a -2，a∈[ 1 3 ， 1 2 ] 9a+ 1 a -6，a∈( 1 2 ，1]

…（13分）

點評：本題考查函數的單調性，考查二次函數在指定區間上的最值，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．