Question

已知定義在區(qū)間[-π，

3π

2

]上的函數(shù)y=f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）當a∈[-1，1]時，討論關于x的方程f（x）=a的解的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）、先根據(jù)當 x≥

π

4

時，f（x）=-sinx畫出在[

π

4

，

3π

2

]上的圖象；再根據(jù)圖象關于直線x=

π

4

對稱把另一部分添上即可；
（2）先根據(jù)x∈[-π，

π

4

]，得

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，再結合當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx即可求出y=f（x）的解析式；
（3）結合圖象可得：關于x的方程f（x）=a有解可以分為四個根，三個根，兩個根三種情況．

解答：解：（1）、y=f（x）的圖象如圖所示．

（2）、任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，因為函數(shù)y=f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，
則f(x)=f(

π

2

-x)，
又當x≥

π

4

時，f(x)=-sinx，則f(x)=f(

π

2

-x)=-sin(

π

2

-x)=-cosx，
即f(x)=

-cosx，x∈[-π π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 3π 2 ]

．
（3）、由（1）可知：
當a=-

2

2

，方程3解．
當a∈(-1，-

2

2

)時，方程4解．
當a∈{a|-

2

2

＜a≤1或a=-1}時，方程2解

點評：本題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法以及分類討論思想的運用．解決第二問的關鍵在于根據(jù)x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]．