Question

已知α+2β=

2π

3

，α和β為銳角；
（1）若tan（α+β）=2+

3

；求β；
（2）若tanβ=（2-

3

）cot

α

2

，滿足條件的α和β是否存在？若存在，請求出α和β的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據β=[（α+2β）-（α+β）]，然后利用兩角差的正切函數公式對等式兩邊取正切，根據tan（α+β）=2+

3

和α+2β=

2π

3

化簡得到tanβ的值，根據特殊角的三角函數值求出β即可；
（2）由α+2β=

2π

3

兩邊除以2得到

α

2

+β=

π

3

，兩邊去正切值得到正切之和和正切之積的關系，然后再根據tanβ=（2-

3

）cot

α

2

得到正切之和，正切之積的值，利用根與系數的關系寫出一個方程，求出方程的解，利用特殊角的三角函數值求出α和β，故存在這樣的角度滿足條件．

解答：解：（1）因為α+2β=

2π

3

，
∴tanβ=tan[（α+2β）-（α+β）]=

tan(α+2β)-tan(α+β)

1+tan(α+2β)tan(α+β)

=

tan 2π 3 -2- 3

1+(2+ 3 )tan 2π 3

=

- 2 3 -2

-2 3 -2

=1
由β為銳角，得到β=

π

4

．
（2）由α+2β=

2π

3

得

α

2

+β=

π

3

，
∴tan（

α

2

+β）=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=tan

π

3

=

3

，
∵tanβ=（2-

3

）cot

α

2

即tan

α

2

tanβ=2-

3

∴tan

α

2

+tanβ=3-

3

，
于是tan

α

2

和tanβ是一元二次方程x²-（3-

3

）x+2-

3

=0的兩根，
解得x₁=1，x₂=2-

3

．
若tan

α

2

=1，則α=90°與0＜α＜90°矛盾，舍去；
∴tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
故滿足條件的α和β存在，且α=30°，β=45°．

點評：此題把三角函數和一元二次方程綜合在一起，考查學生靈活運用角的變換，靈活運用兩角差的正切函數的公式化簡求值．