【題目】設
（1）證明:當
時，
；
（2）當
時
，求整數
的最大值.（參考數據：
，
）
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）將
代入函數解析式可得
，構造函數
，求得
并令
，由導函數符號判斷函數單調性并求得最大值，由
即可證明
恒成立，即不等式得證.
（2）對函數求導，變形后討論當
時的函數單調情況：當
時，可知滿足題意；將不等式化簡后構造函數
，利用導函數求得極值點與函數的單調性，從而求得最小值為
，分別依次代入檢驗
的符號，即可確定整數
的最大值；當
時不滿足題意，因為求整數的最大值，所以
時無需再討論.
（1）證明：當時代入
可得，
令，
，
則
，
令解得
，
當
時
，所以在單調遞增，
當
時
，所以在單調遞減，
所以
，
則
，即
成立.
（2）函數
則
，
若時，當時，
，則
在
時單調遞減，所以
，即當
時
成立；
所以此時需滿足
的整數解即可，
將不等式化簡可得
，
令
則
令
解得
，
當
時
，即
在內單調遞減，
當
時
，即在內單調遞增，
所以當時取得最小值，
則
，
，
，
所以此時滿足的整數 的最大值為；
當時，在
時
，此時
，與題意矛盾，所以不成立.
因為求整數的最大值，所以時無需再討論，
綜上所述，當時，整數的最大值為.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，
平面PCD，
，
，
，E為AD的中點，AC與BE相交于點O.
（1）證明：
平面ABCD.
（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，離心率為
，直線
恒過
的一個焦點
.
（1）求的標準方程；
（2）設
為坐標原點，四邊形
的頂點均在上，
交于，且
，若直線
的傾斜角的余弦值為
，求直線
與
軸交點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據統計有如下表格.（其中
表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數，
表示被清華、北大等名校錄取的學生人數）
年份（屆） | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| 41 | 49 | 55 | 57 | 63 |
| 82 | 96 | 108 | 106 | 123 |
（1）通過畫散點圖發現與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數字）
（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數為61人，預測2019年高考該校考人名校的人數；
（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業的人數的分布列和期望.
參考公式：
，
參考數據：
，
，
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD是直角梯形，
，
，平面
平面
，
，
，
，
，
的余弦值為
，
，F為BE中點，G為PD中點．
（1）求證：
平面ABCD；
（2）求平面BCE與平面ADE所成角(銳角)的余弦值．
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