Question

某校欲從兩個素質拓展小組中選拔4個同學參加市教育局組織的2010年夏令營活動，已知甲組內有實力相當的1個女生和3個男生，乙組內有實力相當的2個女生和4個男生，現從甲、乙兩個小組內各任選2個同學．
（1）求選出的4個同學中恰有1個女生的概率；
（2）設X為選出的4個同學中女生的個數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）選出的4個同學中恰有1個女生包括兩種情況，從甲組內選出的2個同學均為男同學；從乙組內選出的2個同學中，1個是男同學，1個為女同學；從乙組內選出的2個同學均為男同學；從甲組內選出的2個同學中1個是男同學，1個為女同學，根據這兩個事件是互斥事件，根據互斥事件的概率，得到結果．
（2）根據甲組內有實力相當的1個女生和3個男生，乙組內有實力相當的2個女生和4個男生，共有三個女生，所以選出的4個同學中女生的個數可能的取值是0、1、2、3，結合變量對應的事件做出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）設“從甲組內選出的2個同學均為男同學；
從乙組內選出的2個同學中，1個是男同學，1個為女同學”為事件A，
“從乙組內選出的2個同學均為男同學；從甲組內選出的2個同學中1個是男同學，1個為女同學”為事件B，
由于事件A、B互斥，
且P（A）=

C 2 3 C 1 2 C 1 4

C 2 4 C 2 6

=

4

15

，P(B)=

C 1 3 C 2 4

C 2 4 C 2 6

=

1

5

，
∴選出的4個同學中恰有1個女生的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=

4

15

+

1

5

=

7

15

．

（2）X可能的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

1

5

，P（X=1）=

7

15

，P（X=2）=

3

10

，P（X=0）=

1

30

，
∴X的分布列為
∴X的數學期望EX=1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．