Question

如圖，三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側棱垂直于底面，側棱長為，D為棱的中點。

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）參考解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明平面，主要是通過線面平行的判斷定理，在平面內找一條直線與已知直線平行，通過三角形的中位線即可得到；

（Ⅱ）依題意底面是正三角形且,又可證明.即可得到所求的二面角的平面角為，從而通過解直角三角形即可得到二面角的大小.本題關鍵是通過了解線面的關系找出二面角的平面角.

試題解析：（Ⅰ）連接交于點O，連接OD，則OD為中邊上的中位線，所以.又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD.

（Ⅱ）因為為等邊三角形，D為AC中點，所以，由側棱垂直于底面知，三棱柱為直三棱柱，所以平面平面.又平面ABC 平面=AC，BD平面ABC，所以BD平面，又AD平面，平面，所以ADBD, BD,故為二面角的平面角，由AC=2，知在中，.所以.故所求二面角的大小為.

考點：1.線面平行的判定.2.面面關系.3.二面角的大小.