Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點，，分別是橢圓的左、右焦點，為等腰三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過左焦點作直線交橢圓于兩點，其中，另一條過的直線交橢圓于兩點（不與重合），且點不與點重合. 過作軸的垂線分別交直線，于,.

①求點坐標； ②求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） 見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據已知求出，即得橢圓方程為. （Ⅱ）①由 可求. ②當與軸垂直時，兩點與,兩點重合，由橢圓的對稱性，. 當不與軸垂直時，聯立直線和橢圓方程證明，即.

（Ⅰ）由已知，，得，，

為等腰三角形， ，

則 解得，

橢圓方程為.

（Ⅱ）①由題意可得直線的方程為.

與橢圓方程聯立,由 ，可求.

②當與軸垂直時，兩點與,兩點重合，由橢圓的對稱性，.

當不與軸垂直時，

設，，的方程為（）.

由消去，整理得.

則，.

由已知，，則直線的方程為，

令，得點的縱坐標.

把代入得.

由已知，，則直線的方程為,

令，得點 的縱坐標.

把代入得.

,

把，代入到中，

=.

即，即.