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古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在柱上，現要將套在柱上的盤換到柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子可供使用.

現用表示將個圓盤全部從柱上移到柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：

(1)寫出并求出

(2)記求和(其中表示所有的積的和)

(3)證明：

（1）（2）

(3)見解析

解析:

(1)解：

事實上，要將個圓盤全部轉移到柱上，只需先將上面個圓盤轉移到柱上，需要次轉移，然后將最大的那個圓盤轉移到柱上，需要一次轉移，再將柱上的個圓盤轉移到柱上，需要次轉移，所以有

則所以

(2)

則

(3)令則當時

又所以對一切有：

另方面恒成立，所以對一切有

綜上所述有：

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科目：高中數學 來源： 題型：

古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（n∈N*）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
證明：

≤

S1•S3

S2•S4

+…+

S1•S3…S2n-1

S2•S4…S2n

＜

（n∈N^*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（n∈N^*）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A，B，C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj(i，j∈N*)；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
（3）證明：

+…+

Sn+1

＜

•

(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源：2010年重慶市西南師大附中高三下學期五月月考數學（理） 題型：解答題

(本小題滿分12分)
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1)   寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．