Question

（1）x、y＞0，x+2y=2，求

4

x

+

3

y

的最小值．
（2）證明：a、b∈R，

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2．

Answer 1

分析：（1）依題意，

4

x

+

3

y

=

1

2

（x+2y）（

4

x

+

3

y

），利用基本不等式即可求得其最小值；
（2）利用分析法即可證得

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2．

解答：證明：（1）∵x、y＞0，x+2y=2，
∴

4

x

+

3

y

=

1

2

（x+2y）（

4

x

+

3

y

）=

1

2

（4+

3x

y

+

8y

x

+6）≥

1

2

（10+2

3x y • 8y x

）=5+2

6

（當且僅當

3x

y

=

8y

x

，即x=2

6

-4，y=3-

6

時取等號），
∴

4

x

+

3

y

的最小值為：5+2

6

．
（2）要證明

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2=

a2+2ab+b2

4

，
需證2（a²+b²）≥a²+2ab+b²，
即證a²-2ab+b²≥0，即證（a-b）²≥0，
上式顯然成立，
故原結論成立．

點評：本題考查不等式的證明．著重考查基本不等式與分析法的應用，屬于中檔題．