Question

(2014·武漢模擬)已知點P是圓M：x²+(y+m)²=8(m>0,m≠)上一動點,點N(0,m)是圓M所在平面內一定點,線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q.
(1)當P在圓M上運動時,記動點Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標準方程.
(2)過原點斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點,其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點C,直線BC交曲線Г于另一點D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）雙曲線  -=1
（2）存在，m=

(1)因為|QN|=|QP|,
所以||QM|-|QN||=|PM|=2.
①當2<2m時,動點Q的軌跡曲線Г為以點M,N為焦點,2a=2為實軸的雙曲線,其標準方程為-=1.
②當2>2m時,動點Q無軌跡.
(2)如圖所示,

設A(x₁,y₁),D(x₀,y₀),則B(-x₁,-y₁),C(x₁,0).
則y₁=kx₁.
直線BC的方程為y=(x-x₁),即y=(x-x₁).
聯立化為(m²k²-2k²-8)x²-2k²(m²-2)x₁x+(m²-2)(k²-8)=0.
所以-x₁+x₀=,
所以k′==
=-.
若存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1,
則=1,
整理得m²=6,解得m=±(負值舍去).
因此存在m,且當m=時,滿足題意.