Question

【題目】 已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為.

（1）求雙曲線的方程.

（2）過點是否存在直線，使直線與雙曲線交于兩點，且點是線段的中點？若直線存在，請求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在,詳見解析

【解析】

（1）由題意，得到，聯立即得解；

（2）點差法得到直線l的斜率，即直線方程為，代入雙曲線的方程聯立，驗證即可.

解：（1）由離心率，得.①

又雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為，則.②

由①②，解得，則，

∴雙曲線的方程為.

（2）假設存在過點的直線，使直線與雙曲線交于兩點，且點是線段的中點.

設，則有

兩式作差，得，即.

又點是線段的中點，則，

∴直線的斜率，

則直線的方程為，即，

代入雙曲線的方程，得，

，方程沒有實數解.

∴過點不存在直線，使直線與雙曲線交于兩點，且點是線段的中點.