Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線l的方程；
（Ⅱ）證明：函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方；
（Ⅲ）討論函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線l的方程；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-（1-a）x，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值證明：函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方；
（Ⅲ）利用導數(shù)確定函數(shù)的取值情況，確定函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)為f′(x)=

1

x

-a，…（1分）
f（1）=-a+1，所以切線斜率k=f'（1）=1-a，所以切線l的方程為
y-（1-a）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x．                 …（3分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，則F'（x）=

1

x

-1=

1-x

x

=0，解得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

…（6分）
F（1）＜0，所以?x＞0且x≠1，F(xiàn)（x）＜0，所以f（x）＜（1-a）x，
即函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方．        …（8分）
（Ⅲ）令f（x）=lnx-ax+1=0，則a=

1+lnx

x

．
令 g（x）=

1+lnx

x

，則g'（x）=

1-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
當x=1時，g（x）的最大值為g（1）=1．
所以若a＞1，則f（x）無零點；若f（x）有零點，則a≤1．…（10分）
若a=1，f（x）=lnx-ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且僅有一個零點x=1．
若a≤0，f（x）=lnx-ax+1單調(diào)遞增，由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較，知f（x）有且僅有一個零點（或：直線y=ax-1與曲線y=lnx有一個交點）．
若0＜a＜1，解f'（x）=

1

x

-a=0，得x=

1

a

，由函數(shù)的單調(diào)性得知f（x）在x=

1

a

處取最大值，f（

1

a

）=ln

1

a

＞0，由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較知，當x充分大時f（x）＜0，即f（x）在單調(diào)遞減區(qū)間（

1

a

，+∞）有且僅有一個零點；又因為f（

1

e

)=-

a

e

＜0=-

a

e

＜0，
所以f（x）在單調(diào)遞增區(qū)間（0，

1

a

）有且僅有一個零點．
綜上所述，當a＞1時，f（x）無零點；
當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；
當0＜a＜1時，f（x）有兩個零點．…（13分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．