Question

[選修4-5：不等式選講]
已知函數f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+m；
（Ⅰ）已知常數a＜2，解關于x的不等式f（x）+a-2＞0；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過f（x）+a-2＞0得|x-3|＞2-a，去掉絕對值符號，求解不等式，推出不等式的解集即可．
（Ⅱ）函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，等價于f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-3|+|x+4|，求出函數的最小值，即可得到結論．

解答：解：（I）由f（x）+a-2＞0得|x-3|＞2-a，
∵常數a＜2，
∴x-3＞2-a或x-3＜a-2，即x＞5-a或x＜a+1，
故不等式的解集為（-∞，a+1）∪（5-a，+∞）；
（II）∵函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-3|+|x+4|，
∵|x-3|+|x+4|≥|x-3-（x+4）|=7，
∴m＜7，即實數m的取值范圍為m＜7．

點評：本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于基礎題．