Question

已知函數f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b為實數，
（1）若f（x）在x=1處取得的極值為2，求a，b的值；
（2）若f（x）在區間[-1，2]上為減函數，且b=9a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）在x=1處取得的極值為2，可建立關于a，b的兩個等式關系，解方程組即可．
（2）由f（x）在區間[-1，2]上為減函數，可轉化成f'（x）≤0對x∈[-1，2]恒成立，借助二次函數的知識建立不等關系，可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設可知：f'（1）=0且f（1）=2，
即

3-6a-b=0 1-3a-b=2

，
解得a=

4

3

，b=-5．；
（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-6ax-b=3x²-6ax-9a，
又f（x）在[-1，2]上為減函數，
∴f'（x）≤0對x∈[-1，2]恒成立，
即3x²-6ax-9a≤0對x∈[-1，2]恒成立，
∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，
即

3+6a-9a≤0 12-12a-9a≤0

?

a≥1 a≥ 4 7

?a≥1，
∴a的取值范圍是a≥1．

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．