Question

給定矩陣A=

2 3

1 0

，B=

2 -2

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂及對應的特征向量

α1

，

α2

；
（2）求A⁴B．

Answer 1

分析：（1）先寫出矩陣A的特征多項式，令其為0，可求特征值，進一步可求特征向量；
（2）先將矩陣B用

α1

，

α2

線性表示，再利用線性變換的性質求解．

解答：解：（1）矩陣A的特征多項式為f(λ)=

.

λ-2 -1 -3 λ

.

=λ2-2λ-3=0
令f（λ）=0，∴λ₁=3，λ₂=-1，從而求得對應的一個特征向量分別為

α1

=(1，1)，

α2

=(-1，3)
（2）令B=m

α1

+n

α2

，求得m=1，n=-1．
∴A⁴B=1×3⁴×（1，1）-1×（-1）⁴×（-1，3）=（82，78）

點評：本題的考點是特征值與特征向量的計算，主要考查求矩陣的特征值及特征向量，關鍵是理解定義，正確寫出特征多項式．