Question

數列{a_n}共有k項（k為定值），它的前n項和S_n=2n²+n（n≤k，n∈N^*），現從k項中抽取某一項（不抽首末兩項），余下的k-1項的平均數為79．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）求數列的項數，并求抽取的是第幾項．

Answer 1

【答案】分析：（1）當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
（2）設抽取的為第t項，則1＜t＜k．由題意知S_k=79×（k-1）+a_t，利用等差數列的前n項和公式可得2k²+k=79k-79+4t-1．進而即可得出．
解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=3；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1．
∵當n=1時也適合，
∴a_n=4n-1（n∈N^*）．
（2）設抽取的為第t項，則1＜t＜k．
由題意知S_k=79×（k-1）+a_t，
即2k²+k=79k-79+4t-1
∴2t=k²-39k+40，∴2＜k²-39k+40＜2k．
則38＜k＜40，
∵k∈N^*．∴k=39，t=20．
故抽取的為第20項，共有39項．
點評：熟練掌握及等差數列的前n項和公式是解題的關鍵．