Question

如下圖，A村在B地正北 km處，C村與B地相距4 km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8 km.現要在公路旁建造一個變電房M(變電房M可視為建在公路上)分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

Answer 1

解:∵|MB|+|MC|=8，|BC|=4＜8,

∴M在以B、C為焦點的橢圓上.

如下圖,建立平面直角坐標系，B(－2，0)，C(2，0)，A(－2，).

∴M點的軌跡方程為=1,e=.

∴右準線l為x==8.

過M作MN⊥l于N，∴|MN|=2|MC|,

依題意,求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

由平面幾何知識可知，當M、A、N共線時|MA|+|MN|最小.

∴M(2，)，N(8，).

∴|AM|=2+2,

即變電房M應建在A村的正東方向且距A村(2+2) km處.