四棱錐
中，
平面
,
，底面為直角梯形
分別是
的中點
（Ⅰ）求證：
// 平面
；
（Ⅱ）求截面
與底面所成二面角的大小；
（Ⅲ）求點
到平面的距離．
科目：高中數學 來源：2015屆河北衡水中學高二上第四次調研考試理數學卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，
平面ABCD，底面ABCD是菱形，
，
.
（1）求證：
平面PAC；
（2）若
，求
與
所成角的余弦值；
（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.
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科目：高中數學 來源：2015屆河南省高一上學期期末考試數學試卷（解析版） 題型：解答題
(本題13分)
如圖，在四棱錐
中，
平面
，底面是菱形，
.
分別是
的中點.
(1) 求證：
；
(2) 求證：
.
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科目：高中數學 來源：2014屆四川省高二10月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在四棱錐
中，
平面ABCD，底面ABCD是菱形，
，
.
（1）求證：
平面PAC；
（2）若
，求PB與AC所成角的余弦值；
（3）若PA=
，求證：平面PBC⊥平面PDC
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省陸豐市高三第四次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖
，在四棱錐
中，
平面
，底面是菱形，點O是對角線
與
的交點,
是
的中點,
.
(1) 求證：
平面
;
(2) 平面
平面
;
(3) 當四棱錐
的體積等于
時,求
的長.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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//
………1分
………2分
平面
，
平面
//平面
為原點，以
分別為
建立空間直角坐標系
，
的法向量為
，又
則有：
，則
， …………6分
為平面
的法向量， 
，
…………8分
，
………12分
