Question

已知函數f（x）=的定義域為[α，β]，值域為[log_aa（β﹣1），log_aa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上為減函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：2＜α＜4＜β；
（3）若函數g（x）=log_aa（x﹣1）﹣，x∈[α，β]的最大值為M，求證：0＜M＜1．

Answer 1

解．（1）按題意，得．
∴即 α＞2．                                    
又
∴關于x的方程．
在（2，+∞）內有二不等實根x=α、β．
關于x的二次方程ax²+（a﹣1）x+2（1﹣a）=0在（2，+∞）內有二異根α、β．
． 
 故 ．            
（2）令Φ（x）=ax²+（a﹣1）x+2（1﹣a），
則Φ（2）●Φ（4）=4a●（18a﹣2）=8a（9a﹣1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．                                                    
（3）∵，

=．
∵lna＜0，
∴當x∈（α，4）時，g'（x）＞0；
當x∈（4，β）是g'（x）＞0．
又g（x）在[α，β]上連接，
∴g（x）在[α，4]上遞增，在[4，β]上遞減．
故 M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．                                    
∴，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．
若M≥1，則9a=a^M．
∴9=a^M﹣1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．