Question

已知f（x）=

1

3x-1

+a為奇函數．（1）求a的值；
（2）求函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先由奇函數建立等式，求a，
（2）嚴格按照單調性定義，使得函數增函數的區間是增區間，使得函數是減函數的是減區間．

解答：解：（1）∵f（-x）=

1

3-x-1

=-1+a-

1

3x-1

=-1+2a-f（x），
由f（-x）=-f（x），
得-1+2a=0．
∴a=

1

2

．
（2）對于任意x₁≠0，x₂≠0，且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

1

3x1-1

-

1

3x2-1

=

3x2-3x1

(3x1-1)(3x2-1)

．
當x₁＜x₂＜0時，3x2＜3x1，3x2＜1，3x1＜1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
當0＜x₁＜x₂時，3x2＞3x1，3x2＞1，3x1＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴函數的單調遞減區間為（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及運算能力．主要是利用和鞏固奇偶函數的定義、單調函數的定義．