Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求直線AB₁和平面ABC₁D₁所成的角；
（2）M為BC₁上一點且BM=

1

3

BC1，在AB₁上找一點N使得MN∥A₁C．

Answer 1

分析：先以D為原點建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，（1）先利用線面垂直的判定定理求平面ABC₁D₁的法向量，再求

AB1

與此法向量的夾角的余弦值，其絕對值就是線面角的正弦值；
（2）設

B1N

=λ

B1A

，將

MN

用λ表示，要使MN∥A₁C，只需存在μ，使

MN

=μ

A1C

，列方程組即可解得λ的值，從而確定N點位置

解答：解：如圖建立空間直角坐標系：設正方體棱長為1
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0）
（1）

AB1

=（0，1，1），

AD1

=（-1，0，1），

AB

=（0，1，0）
設平面ABC₁D₁所的法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • AB =y=0 n • AD1 =-x+z=0

．取

n

=（1，0，1）
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

1

2 × 2

=

1

2

設直線AB₁和平面ABC₁D₁所成的角為θ
則sinθ=

1

2

，又θ∈[0，

π

2

]
∴θ=

π

6

∴直線AB₁和平面ABC₁D₁所成的角為

π

6

（2）

A1C

=（-1，1，-1），

BC1

=（-1，0，1），
∵BM=

1

3

BC1，
∴

BM

=

1

3

BC1

=（-

1

3

，0，

1

3

）
設

B1N

=λ

B1A

=λ（0，-1，-1）=（0，-λ，-λ）
則

MN

=

MB

+

BB1

+

B1N

=（

1

3

，0，-

1

3

）+（0，0，1）+（0，-λ，-λ）=（

1

3

，-λ，

2

3

-λ）
∵MN∥A₁C．
∴（

1

3

，-λ，

2

3

-λ）=μ（-1，1，-1），∴

1 3 =-μ -λ=μ 2 3 -λ=-μ

解得λ=

1

3

∴當

B1N

=

1

3

B1A

時，MN∥A₁C．

點評：本題主要考查了空間線面角的求法，空間線線平行的判定，空間直角坐標系與空間向量在解題中的應用，需要有較強的運算能力