Question

房屋的天花板上點P處有一光源，P在地面上的射影為Q，在地面上放置正棱錐S-ABCD，底面ABCD接觸地面，已知正四棱錐S-ABCD的高為1米，底面ABCD的邊長為

1

2

米，Q與正方形ABCD的中心O的距離為3米，又PQ長為3米，則棱錐影子（不包括底面ABCD）的面積的最大值為

 

．（注：正四棱錐為底面是正方形，且頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐）

Answer 1

分析：欲使得棱錐影子（不包括底面ABCD）的面積的最大，則點C在直線OQ上，作出圖形．利用相似三角形求出影子的高RQ，最后利用三角形的面積公式計算棱錐影子（不包括底面ABCD）的面積即可．

解答：解：欲使得棱錐影子（不包括底面ABCD）的面積的最大，則點C在直線OQ上，如圖．
設影子RQ=x，根據△RSO∽△RPQ，得

RO

RQ

=

SO

PQ

即

x

x+3

=

1

3

，∴x=

3

2

，
∴棱錐影子（不包括底面ABCD）的面積=S_△RBD-S_△ABD=

1

2

×

2

2

×

3

2

-

1

2

×

2

2

×

2

4

=

3 2 -1

8

．
故答案為：

3 2 -1

8

．

點評：本小題主要考查中心投影及中心投影作圖法、棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．