Question

已知數列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，設bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），c_n=a_nb_n（n∈N^*）
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題a_n=(

1

4

)n，（n∈N^*），再根據b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），求出數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和S_n．先根據c_n=a_nb_n（n∈N^*）求出數列{c_n}通項，再利用錯位相減法求其前n項和S_n．

解答：解：（1）由題意知，a_n=(

1

4

)n，（n∈N^*），（2分）
又b_n=3log 

1

4

a_n-2，故b_n=3n-2，（n∈N^*），（4分）
（2）由（1）知，a_n=(

1

4

)n，b_n=3n-2，（n∈N^*），∴c_n=（3n-2）×(

1

4

)n，（n∈N^*），（6分）
∴S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+（3n-5）×(

1

4

)n-1+（3n-2）×(

1

4

)n，
∴

1

4

S_n=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+（3n-8）×(

1

4

)n-1+（3n-5）×(

1

4

)n+（3n-2）×(

1

4

)n+1，
兩式相減，得

3

4

S_n=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-（3n-2）×(

1

4

)n+1=

1

2

-（3n+2）×(

1

4

)n+1
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n，（n∈N^*）（12分）

點評：本題考查了等差與等比數列的綜合，主要考查了等比數列的通項公式及求和的技巧錯位相減法，如果一個數列的項是由一個等差數列的項與一個等比數列的相應項乘積組成，即可用錯位相減法求和．本題易因錯位相減時規則不熟悉出錯，要好好研究．