Question

在數列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）設b_n=a_n-n，求數列{b_n}的通項公式；
（2）設數列a_n的前n項和為S_n，證明：對任意的n∈N^*，不等式S_n+1≤4S_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）直接利用條件求b_n+1和b_n的關系即可找到數列{b_n}的規律，進而求數列{b_n}的通項公式；
（2）先求出數列{a_n}的通項公式；，再對其分組求和求出前n項和為S_n，再對S_n+1與4S_n恒作差比較即可判斷．

解答：解：（1）∵b_n+1=a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4（a_n-n）=4b_n（3分）
且b₁=a₁-1=1（14分）∴b_n為以1為首項，以4為公比的等比數列∴b_n=b₁q^n-1=4^n-1（5分）
（2）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（6分）∴Sn=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

（8分）
∴Sn+1-4Sn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4[

4n-1

3

+

n(n+1)

2

]=-

1

2

(3n+4)(n-1)≤0（11分）
∴不等式S_n+1≤4S_n對任意的n∈N^*皆成立（12分）

點評：本題主要考查由遞推公式推導數列的通項公式以及等差等比數列求和公式的應用．是中檔題．