Question

（2013•嘉定區二模）已知cos(α-β)=

3

5

，sinβ=-

5

13

，且α∈(0，

π

2

)，β∈(-

π

2

，0)，則sinα=

33

65

．

Answer 1

分析：由α和β的范圍求出α-β的范圍，根據cos（α-β）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosβ的值，然后將所求式子中的角α變為（α-β）+β，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：∵α∈（0，

π

2

），β∈（-

π

2

，0），
∴α-β∈（0，π），
又cos（α-β）=

3

5

，sinβ=-

5

13

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

4

5

，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，
則sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

×

12

13

+

3

5

×（-

5

13

）=

33

65

．
故答案為：

33

65

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．