Question

函數f（x）=其中P、M為實數集R的兩個非空子集，又規定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．給出下列四個判斷，其中正確判斷有（ ）
①若P∩M=∅，則f（P）∩f（M）=∅；
②若P∩M≠∅，則f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，則f（P）∪f（M）=R；
④若P∪M≠R，則f（P）∪f（M）≠R．
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由函數的表達式知，可借助兩個函數y=x與y=-x圖象來研究，分析可得答案．
解答：解：由題意知函數f（P）、f（M）的圖象如圖所示．
設P=[x₂，+∞），M=（-∞，x₁]，
∵|x₂|＜|x₁|，f（P）=[f（x₂），+∞），
f（M）=[f（x₁），+∞），則P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x₁），+∞）≠∅，故①錯誤．
同理可知②正確．設P=[x₁，+∞），M=（-∞，x₂]，
∵|x₂|＜|x₁|，則P∪M=R．
f（P）=[f（x₁），+∞），f（M）=[f（x₂），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x₁），+∞）≠R，
故③錯誤．
④若P∪M≠R，則f（P）∪f（M）≠R．這是不對的 若P={非負實數}，M={正實數}
則f（P）={非負實數}，f（M）={負實數}
則f（P）∪f（M）=R．
故④錯
故選A
點評：考查對題設條件的理解與轉化能力，本題中題設條件頗多，審題費時，需仔細審題才能把握其脈絡，故研究時借用兩個函數的圖象，借助圖形的直觀來來幫助判斷命題的正誤，以形助數，是解決數學問題常用的一種思路．