Question

如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F為CD中點．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小；

（Ⅲ）求點A到平面CDE的距離．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，∵F，G分別為DC，BC中點，

∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，∴AE∥FG且AE＝FG，

∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，

BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，

∵G為 BC中點，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，

∴EF⊥平面BCD．····························· 4分

（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，分別以、、所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，．設面CDE的法向量，則

取，······· 6分

取面ABDE的法向量，············· 7分

由，

故二面角C－DE－A的大小為．········· 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量，，

則點A到平面CDE的距離

【解析】略