Question

已知函數=，.

(Ⅰ)求函數在區間上的值域；

（Ⅱ）是否存在實數，對任意給定的，在區間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）給出如下定義：對于函數圖象上任意不同的兩點，如果對于函數圖象上的點（其中總能使得成立，則稱函數具備性質“”，試判斷函數是不是具備性質“”，并說明理由.

Answer 1

 解：(Ⅰ)   在區間上單調遞增，在區間上單調遞減,且

         的值域為      ………………3分

（Ⅱ）令，則由(Ⅰ)可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調函數  …………………5分

   

當時, ,.s 在區間上遞減，不合題意

當時, ,在區間上單調遞增，不合題意

當時, ,在區間上單調遞減，不合題意

當即時, 在區間上單調遞減; 在區間上單遞增，由上可得，此時必有的最小值小于等于0 而由可得，則

綜上，滿足條件的不存在。………………………..8分

（Ⅲ）設函數具備性質“”，即在點處的切線斜率等于，不妨設，則，而在點處的切線斜率為，

故有………………10分

即，令，則上式化為，

………………12分

令，則由可得在上單調遞增，故，即方程無解，所以函數不具備性質“”. ……………………14分