Question

下面四個不等式：
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）a（1-a）≤

1

4

；
（3）

b

a

+

a

b

≥2；
（4）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
其中恒成立的序號有

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式a²+b²≥2ab即可證得a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）(a-

1

2

)2≥0即可推出a（1-a）≤

1

4

；
（3）當a，b同正或同負時，

b

a

+

a

b

≥2才成立；
（4）利用（ac-bd）²≥0即可證得（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；

解答：解：（1）∵a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，故（1）正確；
（2）∵(a-

1

2

)2≥0，
∴a（1-a）≤

1

4

；故（2）正確；
（3）當a，b同正或同負時，

b

a

+

a

b

≥2才成立，故（3）錯誤；
（4）∵（ac-bd）²≥0，
∴a²c²+b²d²≥2abcd，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，故（4）正確．
綜上所述，其中恒成立的序號有（1）（2）（4）．
故答案為：（1）（2）（4）．

點評：本題考查不等關系的判斷與證明，考查分析，推理與運算能力，屬于中檔題．