Question

（1）已知二階矩陣A對應的變換將點（1，0）與點（-1，1）分別變換成點（2，3）與點（-2，-4），求矩陣A及其特征值．
（2）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程是

x=2+t y=2-2t

（t為參數），圓C的參數方程是

x=1+4cosa y=4sina

（a為參數），求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，求出矩陣A，寫出特征多項式，可求特征值；
（2）化參數方程為普通方程，利用點到直線的距離公式，即可求直線l被圓C截得的弦長．

解答：解：（1）設A=

a b c d

，則
∵二階矩陣A對應的變換將點（1，0）與點（-1，1）分別變換成點（2，3）與點（-2，-4），
∴

a b c d 1 0 = 2 3 a b c d -1 1 = -2 4

∴

a=2 c=3 -a+b=-2 -c+d=-4

，∴a=2，b=0，c=3，d=-1
∴A=

2 0 3 -1

由f(λ)=

.

λ-2 0 -3 λ+1

.

=（λ-2）（λ+1）=0，得λ=2或-1
∴矩陣A的特征值是2和-1；
（2）直線l的參數方程是

x=2+t y=2-2t

（t為參數），普通方程為2x+y-6=0；
圓C的參數方程是

x=1+4cosa y=4sina

（a為參數），普通方程為（x-1）²+y²=16，
∴圓心C到直線l的距離為d=

|2-6|

5

=

4

5

∴直線l被圓C截得的弦長為2

16-( 4 5 )2

=

16 5

5

．

點評：本題考查矩陣及極值的特征值，考查參數方程與普通方程的轉化，考查學生的計算能力，屬于中檔題．