Question

如圖，在正△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AD=

1

3

AC，AE=

2

3

AB，BD，CE相交于點F．
（Ⅰ）求證：A，E，F(xiàn)，D四點共圓；
（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2，求，A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑．

Answer 1

分析：（I）依題意，可證得△BAD≌△CBE，從而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π，即可證得A，E，F(xiàn)，D四點共圓；
（Ⅱ）取AE的中點G，連接GD，可證得△AGD為正三角形，GA=GE=GD=

2

3

，即點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為

2

3

．

解答：（Ⅰ）證明：∵AE=

2

3

AB，
∴BE=

1

3

AB，
∵在正△ABC中，AD=

1

3

AC，
∴AD=BE，
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，
∴∠ADB=∠BEC，
即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F(xiàn)，D四點共圓．…（5分）
（Ⅱ）解：如圖，

取AE的中點G，連接GD，則AG=GE=

1

2

AE，
∵AE=

2

3

AB，
∴AG=GE=

1

3

AB=

2

3

，
∵AD=

1

3

AC=

2

3

，∠DAE=60°，
∴△AGD為正三角形，
∴GD=AG=AD=

2

3

，即GA=GE=GD=

2

3

，
所以點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為

2

3

．
由于A，E，F(xiàn)，D四點共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點共圓G，其半徑為

2

3

．…（10分）

點評：本題考查利用綜合法進行證明，著重考查全等三角形的證明與四點共圓的證明，突出推理能力與分析運算能力的考查，屬于難題．