Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．問在圓C上是否存在兩點A、B關于直線y=kx-1對稱，且以AB為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：求出圓的圓心坐標，代入直線方程求出直線的斜率，推出AB的斜率，設出AB的方程，聯立AB與圓的方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，求出b的值，即可求出AB的方程．

解答：解：圓C：x²+y²-2x+4y-4=0的圓心坐標（1，-2），
因為在兩點A、B關于直線y=kx-1對稱，所以直線經過圓的圓心，
所以-2=k-1，k=-1．直線AB的斜率為：1；
設直線AB的方程為x-y+b=0；對稱軸方程為：x+y-1=0，

x-y+b=0 x2+y2-2x+4y-4=0

可得2x²+2（b+2）x+b²+4b-4=0，
x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-2．
以AB為直徑的圓經過原點．
x₁x₂+y₁y₂=0，2×

b2+4b-4

2

+b²+b（-b-2）=0，解得b=±

5

-1
所以所求直線AB的方程為x-y-

5

-1=0或x-y+

5

+1=0．

點評：本題考查圓的方程的綜合應用，直線與圓的位置關系，考查轉化思想與計算能力．