Question

2．已知圓C₁：x²+y²-2ax+4y+a²-5=0和圓C₂：x²+y²-2x-2y+1=0
（1）當(dāng)兩圓外離時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C₂的切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PAC₂B面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)兩圓外離時(shí)，則$\sqrt{（a-1）^{2}+9}$＞4，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）要使四邊形PAC₂B面積達(dá)到最小，則圓心與點(diǎn)P的距離達(dá)到最小，即為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB達(dá)到最小．

解答 解：（1）已知圓心C₁（a，-2），半徑r₁=3，圓心C₂（1，1），半徑r₂=1-------（2分）
因?yàn)閮蓤A外離，則$\sqrt{（a-1）^{2}+9}$＞4-------（4分）
解得a$＞1+\sqrt{7}$或a$＜1-\sqrt{7}$-------（6分）
（2）要使四邊形PAC₂B面積達(dá)到最小，則圓心與點(diǎn)P的距離達(dá)到最小，
即為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB達(dá)到最小．-------（8分）
因?yàn)閳A心到直線的距離為3-------（9分）
則|PA|=|PB|=$\sqrt{9-1}$=2$\sqrt{2}$-------（10分）
則四邊形PAC₂B面積的最小值=2×$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1$=2$\sqrt{2}$．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關(guān)鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小”屬于中檔題．