Question

已知拋物線C：與橢圓共焦點，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準線方程；

（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點，直線是拋物線C在點P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在滿足條件的直線.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為拋物線C：與橢圓共焦點，

所以拋物線C：的焦點為（1,0）       （1分）

所以得                                  （3分）

拋物線C的準線方程為                        （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線C：

因為 P為拋物線C上位于軸下方的一點，

所以點P滿足 ，                  

所以點處的切線的斜率為 

所以平行于的直線方程可設為             （6分）

解方程組，消去得：，（7分）

因為直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，

所以即， （8分）

設，則

， （10分）

所以線段AB的中點為，

線段AB的中垂線方程為    （12分）

由知點P在線段AB的中垂線上

所以   ，               （13分）

又得代人上式得 ，（14分）

而 且，所以無解.

從而不存在滿足條件的直線.                            （15分）

考點：橢圓、拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，簡單不等式解法。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求拋物線準線方程時，主要運用了橢圓、拋物線的定義及幾何性質。（2）作為研究直線與拋物線相交時弦長的范圍問題，應用韋達定理，建立了k的不等式，進一步使問題得解。