Question

如圖，這是我國一古代高大建筑，現有一個測角器和一個可測量長度的皮尺(測量長度不超過5米)，請你設計一種測量方案，并給出計算該建筑物的高度的公式，希望你的方案中被測量的數據個數盡量少．

Answer 1

答案：
解析：

探究過程：這是一遠距離測量的實際問題，需要設計一種能轉化計算的可行方案．為此可利用我們所學的數學知識，嘗試將要解決的問題轉化為解三角形的問題．由于不能實地測量，故可考慮以下兩種設計方案來測量： 　　方案一：如圖所示，設建筑物為AB，人站在點P處(P與A在同一水平線上)，平視該建筑物AB，測得測角器的最高點M與建筑物的點C在同一水平線上，并測量出AC的長(即約為測角器的高度)．在點P處看建筑的最高點B，測出仰角α；向前走a米到達Q點，又測得看B點的仰角為β． 　　在△BM中，已知兩角和一邊，利用正弦定理可求出B＝． 　　設建筑物AB＝h，BC＝x，在Rt△BC中， 　　由三角函數可得x＝B·sinβ＝．于是h＝x＋AC可求． 　　方案二：如圖所示，設建筑物為AB，在與建筑物底部A所在平面上取共線的三點P、Q、R，且使PQ＝QR＝m．將測角器分別放在點P、Q、R處可測得觀察建筑物頂部B的仰角分別是α，β，γ． 　　設BC＝x，則該建筑物高h＝x＋AC． 　　在Rt△BCD、Rt△BEC、Rt△BFC中， 　　DC＝x·cotα，CE＝x·cotβ，CF＝x·cotγ． 　　在△ECF和△DCF中，由余弦定理得 　　cos∠CFE＝， 　　即． 　　解得x＝． 　　所以建筑物的高是h＝x＋AC． 　　探究結論：無論哪種設計方案，都至少需要測4個數據，如果不受測量工具和所選初始點的限制，測量方案還會更多．如也可以在與初始點P同一垂線上方選擇一個測量點等，不論采取什么方案，都是把實際測量問題轉化為解三角形問題．