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對于任意實數x,符號[x]表示x的整數部分,即[x]是不超過x的最大整數”.在實數軸R(箭頭向右)上[x]是在點x左側的第一個整數點,當x是整數時[x]就是x.這個函數[x]叫做“取整函數”,它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用.那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=
8204
8204
分析:根據題意可得,[log21]=0有1個0,[log22]=[log23]=1,有2個1,[log24]=[log25]=…=[log27]=2,有4個2
[log28]=[log29]=[log210]=…=[log215]=3,有8個3,[log21024]=10,則[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=1×2+2×22+3×23+…+9×29+10,令S=1×2+2×22+…+9×29,利用錯位相減可求S,進而可求
解答:解:根據題意可得,[log21]=0有1個0,[log22]=[log23]=1,有2個1,[log24]=[log25]=…=[log27]=2,有4個2
[log28]=[log29]=[log210]=…=[log215]=3,有8個3,[log21024]=10
所以,[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+…+10
=1×2+2×22+3×23+…+9×29+10
令S=1×2+2×22+…+9×29
2S=1×22+2×23+…+8×29+9×210
所以,-S=2+22+…+29-9×210
=
2(1-29)
1-2
-9×210=  -2-8×210

所以,S=8×210+2=8194
故答案為:8204
點評:本題以新定義取整函數為切入點,主要考查了歸納推理的應用,及數列求和的錯位相減的求和方法的應用,是一道構思巧妙的試題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

對于任意實數x,符號[x]表示x的整數部分,即[x]是“不超過x的最大整數”,在數軸上,當x是整數,[x]就是x,當x不是整數,[x]是點x左側的第一個整數點,這個函數叫做“取整函數”,也叫高斯(Gauss)函數,如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2,則[log2
1
4
]+[log2
1
3
]+[log2
1
2
]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log216]的值為(  )
A、28B、32C、33D、34

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科目:高中數學 來源: 題型:

8、對于任意實數x,符號[x]表示x的整數部分,即[x]是不超過x的最大整數,例如[2]=2;[2.1]=2;[-2.2]=-3,這個函數[x]叫做“取整函數”,它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用,那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

13、對于任意實數x,符號[x]表示x的整數部分,即[x]是不超過x的最大整數,這個函數[x]叫做“取整函數”,那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=
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科目:高中數學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀下列一段材料,然后解答問題:對于任意實數x,符號[x]表示“不超過x的最大整數”,在數軸上,當x是整數,[x]就是x,當x不是整數時,[x]是點x左側的第一個整數點,這個函數叫做“取整函數”,也叫高斯(Gauss)函數;如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2;則[log2
1
4
]+[log2
1
3
]+[log2
1
2
]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
+[log216]的值為
3
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

對于任意實數x,符號[x]表示x的整數部分,即[x]是不超過x的最大整數,則[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+[log25]=
 

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