Question

19、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析：（1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知
PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．

解答：解：（1）證明：連接AC，AC交BD于O．連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點．
∴在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO，
∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．

（2）證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．

點評：本題考查了線線、線面平行和垂直的相互轉化，通過中位線證明線線平行，再由線面平行的判定得到線面平行；垂直關系的轉化是由線面垂直的定義和判定定理實現．