Question

正四面體的內(nèi)切球（與正四面體的四個面都相切的球）與外接球（過正四面體四個頂點的球）的體積比為（　　）

A．1：3	B．1：9
C．1：27	D．與正四面體的棱長無關(guān)

Answer 1

過點D作DE⊥平面ABC，垂足為E，則E是正三角形ABC的中心


則根據(jù)球的對稱性和正四面體的性質(zhì)，得外接球和內(nèi)切球的球心在同一點處，設(shè)為I，則I在高線DE上
延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF，則I在CF上
I到平面ABC的距離IE等于內(nèi)切球半徑r，ID=IC=R是外接球半徑
設(shè)正四面體棱長為1，則
正△ABC中，CG=

3

2

，CE=

2

3

CG═

3

3

，GE=

1

3

CG=

3

6

，
Rt△DEG中，DG=CG=

3

2

，可得DE=

DG2-GE2

=

6

3

∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴

EG

EI

=

DE

CE

，即

3

6

：EI=

6

3

：

3

3

，可得EI=

6

12

，所以ID=DE-EI=

6

4

即r=

6

12

，R=

6

4

，
可得

R

r

=1：3，體積比為1：27．
故選C．