Question

某中學選派40名同學參加上海世博會青年志愿者服務隊（簡稱“青志隊”），他們參加活動的次數統計如表所示．

活動次數	1	2	3
參加人數	5	15	20

（Ⅰ）從“青志隊”中任意選3名學生，求這3名同學中至少有2名同學參加活動次數恰好相等的概率；
（Ⅱ）從“青志隊”中任選兩名學生，用ξ表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，這3名同學中至少有2名同學參加活動次數恰好相等的對立事件是沒有人參加活動次數相等，根據對立事件的概率公式得到結果．
（2）由題意知ξ=0，1，2，結合變量對應的事件做出事件的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
這3名同學中至少有2名同學參加活動次數恰好相等的對立事件是沒有人參加活動次數相等，
∴概率為P=1-

C 1 5 C 1 15 C 1 20

C 3 40

=

419

494

（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2
結合變量對應的事件做出事件的概率，P0=

C 2 5 + C 2 15 + C 2 20

C 2 40

=

61

156

P1=

C 1 5 C 1 15 + C 1 15 C 1 20

C 2 40

=

75

156

P2=

C 1 5 C 1 20

C 2 40

=

5

39

∴ξ的分布列：

∴ξ的數學期望：Eξ=0×

61

156

+1×

75

156

+2×

5

39

=

115

156

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．