Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱BB₁上，且A₁F⊥B₁D，求證：
（Ⅰ）直線DE∥平面A₁C₁F；
（Ⅱ）B₁D⊥平面A₁C₁F．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明DE∥AC，進而DE∥A₁C₁，據此可得直線DE∥平面A₁C₁F₁；
（Ⅱ）證明B₁D⊥A₁C₁，利用A₁F⊥B₁D，A₁F∩A₁C₁=A₁，即可證明B₁D⊥平面A₁C₁F．

解答 證明：（Ⅰ）∵D，E分別為AB，BC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AC，
∵ABC-A₁B₁C₁為棱柱，
∴AC∥A₁C₁，
∴DE∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁C₁F，且DE?平面A₁C₁F，
∴DE∥平面A₁C₁F；
（Ⅱ）由題意，A₁C₁⊥平面A₁B，B₁D?平面A₁B，
∴B₁D⊥A₁C₁，
∵A₁F⊥B₁D，A₁F∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D⊥平面A₁C₁F．

點評 本題考查線面平行、垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、垂直的判定定理是關鍵．